Title: Mathématiques-PTSI / Fonctions usuelles

Q: [latex]Fonction valeur absolue[/latex]
A: [latex] $ \fonction{\abs{\cdot}}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}}{x}{\abs{x}=max(-x,x)} $ [/latex]

Q: [latex] Propriétés de la fonction valeur absolue [/latex]
A: [latex] La fonction valeur absolue est paire, continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur $\mathbb{R}^*_+$ (resp. $\mathbb{R}^*_-$) de dérivée constante égale à 1 (resp. $-1$). [/latex]

Q: [latex] Pour $x\in \mathbb{R}$, $\sqrt{x^2}=$ [/latex]
A: [latex]$\sqrt{x^2}=\abs{x}$[/latex]

[latex]Représentation graphique de la fonction valeur absolue[/latex]

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$ $x^n=$ [/latex]
A: [latex] $x^n=\begin{cases}
        \underbrace{x\times x \times \dots \times x}_{n} & \text{ si }n\neq 0\\
        1 & \text{ si }n=0
    \end{cases}$ [/latex]

Q: [latex] Fonction puissance d'exposant $n$ [/latex]
A: [latex] $f_n:x\in \mathcal{D}_n\mapsto x^n$, pour $n\in \mathbb{Z}$,
où $\mathcal{D}_n=\mathbb{R}$ (si $n\geq 0$) et $\mathcal{D}_n=\mathbb{R}^*$ (si $n<0$). [/latex]

Q: [latex] Soient $k\in \mathbb{Z}^{*}_-$ et $x\in \mathbb{R}^*$ $x^k=$ [/latex]
A: [latex] $x^k=\dfrac{1}{x^{\abs{k}}}= \dfrac{1}{x^{-k} } $ [/latex]

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R}$ et $(m,n)\in \mathbb{N}^2$. $ [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{m+n}; x^m\times x^n

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R}$ et $(m,n)\in \mathbb{N}^2$. $ [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{mn}; (x^m)^n

Q: [latex] Soient $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ et $n\in \mathbb{N}$, $ [...] = [...] $  [/latex]
A: (xy)^n; x^ny^n

Q: [latex] Soit $y\neq 0$, $n\in \mathbb{N}$, $ [...] =[...] $ [/latex]
A: \left(\dfrac{1}{y}\right)^n; \dfrac{1}{y^n}

Q: [latex] Soit $x\in \mathbb{R}$, $y\neq 0$, $n\in \mathbb{N}$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \left(\dfrac{x}{y}\right)^n; \dfrac{x^n}{y^n}

Q: [latex] Soient $(x,y)\in \mathbb{R^*}^2$ et $n\in \mathbb{Z}$, $ [...] = [...] $  [/latex]
A: (xy)^n; x^ny^n

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R^*}$ et $(m,n)\in \mathbb{Z}^2$. $ [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{m+n}; x^m\times x^n

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R^*}$ et $(m,n)\in \mathbb{Z}^2$. $ [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{mn}; (x^m)^n

Q: [latex] Soit $y\neq 0$, $n\in \mathbb{Z}$, $ [...] =[...] $ [/latex]
A: \left(\dfrac{1}{y}\right)^n; \dfrac{1}{y^n}

Q: [latex] Soit $x\neq0$, $y\neq 0$, $n\in \mathbb{Z}$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \left(\dfrac{x}{y}\right)^n; \dfrac{x^n}{y^n}

Q: [latex] Propriétés de la fonction puissance d'exposant $n$ [/latex]
A: [latex] La fonction $f_n$ a la même parité que $n$, elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition $\mathcal{D}_n$ et $\forall x\in \mathcal{D}_n, \, f_n'(x)=nx^{n-1}$. [/latex]

[latex] Représentation graphique de $x\mapsto x^n$ pour $n=0;1;2;3;-1;-2$. [/latex]

Q: [latex] Fonction racine n-ième [/latex]
A: [latex] Soit $n\in \mathbb{N}^*$. \begin{itemize}
        \item Si $n$ est impair, on appelle \emph{fonction racine $n$-ième} la bijection réciproque de $f_n$.
        \item Si $n$ est pair, on appelle \emph{fonction racine $n$-ième} la bijection réciproque de $f_{n|\mathbb{R}^+}^{|\mathbb{R}^+}$.
    \end{itemize}
    Dans tous les cas, on la note $\sqrt[n]{\cdot}$. [/latex]

Q: [latex] Fonction polynomiale [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{fonction polynomiale (ou fonction polynôme)} toute fonction de la forme
    \begin{itemize}
        \item $x\mapsto 0$, dite de degré $-\infty$
        \item ou $x\mapsto \sum_{k=0}^{n}a_kx^k$, où $n\in \mathbb{N}$, $(a_k)_{0\leq k \leq n}\in \mathbb{R}^{n+1}$ et $a_n\neq 0$, dite de degré $n$. $a_n$ est appelé \emph{coefficient dominant}.
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Propriétés des fonctions polynomiales [/latex]
A: [latex] Toute fonction polynomiale est continue, dérivable sur $\mathbb{R}$ et admet en $+\infty$ et $-\infty$ des limites qui sont celles du monôme dominant. [/latex]

Q: [latex] Fonction rationnelle [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{fonction rationnelle} toute fonction de la forme $x\mapsto \dfrac{g(x)}{h(x)}$ où $g$ et $h$ sont des fonctions polynomiales. Elle est définie sur $\{x\in \mathbb{R}| h(x)\neq 0\}$. [/latex]

Q: [latex] Logarithme népérien [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{logarithme néperien}, et on note $\ln$, l'unique primitive de $\fonction{}{\mathbb{R}^*_+}{\mathbb{R}}{x}{\frac{1}{x}}$ s'annulant en $1$. Elle est définie sur $\mathbb{R}^*_+$. [/latex]

Q: [latex] Propriétés de la fonction logarithme népérien [/latex]
A: [latex] La fonction $\ln$ est dérivable (donc continue) et strictement croissante sur son ensemble de définition. [/latex]

Q: [latex] Limites du $\ln$ [/latex]
A: [latex] $\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$ [/latex]

Q: [latex] Pour tout $x>0$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \ln(\frac{1}{x}); -\ln(x)

Q: [latex] Pour tout $x>0$, $y>0$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \ln(xy); \ln(x)+\ln(y)

Q: [latex] $\ln([...])= [...] $ [/latex]
A: 1; 0

[latex] Représentation graphique de $\ln$ [/latex]

Q: [latex] Représentation graphique $\exp$ et $\ln$ [/latex]
A: [latex] $\exp$ en rouge, $\ln$ en bleu. [/latex]

Q: [latex] Fonction exponentielle [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{exponentielle}, notée $\exp$, la bijection réciproque du logarithme népérien. Elle est définie sur $\mathbb{R}$. [/latex]

Q: [latex] $ \exp( [...]) = [...] $ [/latex]
A: 0; 1

Q: [latex] Propriétés de la fonction exponentielle [/latex]
A: [latex] $\exp$ est strictement positive, strictement croissante, dérivable sur $\mathbb{R}$. [/latex]

Q: [latex] Pour tout $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \exp(x+y); \exp(x)\exp(y)

Q: [latex] Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \exp(-x); \dfrac{1}{\exp(x)}

Q: [latex] Pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $x\in \mathbb{R}$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \exp(nx); \exp(x)^n

Q: [latex] Pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $x\in \mathbb{R^*_+}$, $ [...] = [...] $ [/latex]
A: \ln(x^n); n\ln(x)

Q: [latex] Limites de $\exp$ [/latex]
A: [latex] $\lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0 \quad \lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty$ [/latex]

Q: [latex] Soit $x\in \textcolor{red}{\mathbb{R}^*_+}$ et $a\in \mathbb{R}$, $x^a=$ [/latex]
A: [latex] $x^a=\exp(a\ln(x))$ [/latex]

Q: [latex] $x^a$ est bien défini pour $x\in ?$ et $a\in ? $ [/latex]
A: [latex]
$a\in \mathbb{N}$ et $x\in \mathbb{C}$ ou
$a\in \mathbb{Z}$ et $x\in \mathbb{C}^*$ ou
$a\in \mathbb{R}$ et $x>0$ (seul moment où on peut remplacer par la définition en exponentielle)
 [/latex]

Q: [latex] Soient $x,x'\in \mathbb{R}^*_+$, $y\in \mathbb{R}$ $[...] = [...] $ [/latex]
A: (xx')^y; x^yx'^y

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R}^*_+$, $y,y'\in \mathbb{R}$ $ [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{y+y'}; x^yx^{y'}

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R}^*_+$, $y,y'\in \mathbb{R}$ $ [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{yy'}; (x^y)^{y'}

Q: [latex] Soient $x\in \mathbb{R}^*_+$, $y\in \mathbb{R}$ $ [...] = [...] = [...] $ [/latex]
A: x^{-y}; \frac{1}{x^y}; \left(\frac{1}{x}\right)^y

Q: [latex]Propriétés de la fonction $x\mapsto x^a$ pour $a\in \mathbb{R}$ [/latex]
A: [latex] \begin{enumerate}
\item Si $a>0$, $f_a$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$.
        \item $f_a$ est dérivable (donc continue) sur $\mathbb{R}^*_+$ et $\forall x \in \mathbb{R}^*_+$, $f_a'(x)=ax^{a-1}$.
        \item Si $a\neq 0$, $f_a$ est bijective de réciproque $f_{\frac{1}{a}}$.
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Soient $a<a'$. Comparer $x^a$ et $x^{a'}$ [/latex]
A: [latex] $\forall x \in ]0,1[$, $x^a>x^{a'}$ et $\forall x>1$, $x^a<x^{a'}$. [/latex]

Q: [latex] Fonction logarithme de base $a>0$ et $a\neq 1$.[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{logarithme de base $a$}, et on note $\log_a$, l'application
    $\fonction{}{\mathbb{R}^*_+}{\mathbb{R}}{x}{\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}}$. [/latex]

Q: [latex] Inégalité classique de l'exponentielle [/latex]
A: [latex] $ \forall x \in \mathbb{R}, \, e^{x}\geq 1+x $ [/latex]

Q: [latex] Inégalité classique du $\ln$ [/latex]
A: [latex] $\forall x>-1, \, \ln(1+x)\leq x$  [/latex]

Q: [latex] Croissances comparées [/latex]
A: [latex] \begin{enumerate}
        \item $\dfrac{e^{x} }{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$
        \item $\dfrac{x}{\ln(x)}\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$
        \item $x\ln(x)\xrightarrow[x\to 0^+]{}0$
        \item $\dfrac{e^{x} }{\ln(x)}\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Cercle trigonométrique [/latex]
A: [latex] Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, le \emph{cercle trigonométrique} est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé \emph{sens direct} ou \emph{sens trigonométrique}.
Le sens des aiguilles d'une montre est appelé \emph{sens indirect} ou \emph{sens horaire}. [/latex]

Q: [latex] Ensemble représentant le cercle trigonométrique [/latex]
A: [latex] $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| x^2+y^2=1\}$ [/latex]

Q: [latex] Radian [/latex]
A: [latex] Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique. Le \emph{radian} est la mesure d'un angle au centre qui intersecte sur $\mathcal{C}$ un arc de longueur 1. Le radian est noté rad. [/latex]

Q: [latex] Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. L'\emph{angle orienté} entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ [/latex]
A: [latex] L'\emph{angle orienté} entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ se note $(\vec{u}, \vec{v})$.
    Soient $A$ le point tel que $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et le point $B$ tel que $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$. Une mesure $\theta$ de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$ est la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ en radians avec un signe
    \begin{enumerate}
        \item $+$ si l'angle est parcouru dans le sens direct.
        \item $-$ sinon.
    \end{enumerate}
Rq: ok avec un dessin
[/latex]

Q: [latex] Ensemble des mesures de $(\vec{u},\vec{v})$ [/latex]
A: [latex] Pour $\theta$ une mesure. $\left\{\theta+k \times 2\pi | k\in \mathbb{Z} \right\}$ [/latex]

Q: [latex] Mesure principale d'un angle orienté [/latex]
A: [latex] L'unique mesure qui appartient à l'intervalle $]-\pi;\pi]$.[/latex]

Q: [latex] Congruence modulo $2\pi$ [/latex]
A: [latex] On dit que deux réels $x$ et $y$ sont \emph{congrus modulo $2\pi$}, si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $x-y=k2\pi$. On note alors $x\equiv y [2\pi]$. [/latex]

Q: [latex] Fonction cosinus [/latex]
A: [latex] Notée $\cos$, c'est la fonction qui à tout réel $x$ associe l'abscisse de son point image $M$ sur le cercle trigonométrique. Elle est définie sur $\mathbb{R}$. [/latex]

Q: [latex] Fonction sinus [/latex]
A: [latex] La fonction \emph{sinus}, notée $\sin$, est la fonction qui à tout réel $x$ associe l'ordonnée de son point image $M$ sur le cercle trigonométrique. Elle est définie sur $\mathbb{R}$. [/latex]

[latex] Pour tout nombre réel $x$, on a :
    \begin{enumerate}
        \item $-1\leq \cos(x)\leq 1$,
        \item $-1\leq \sin(x)\leq 1$
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Relation liant $\cos$ et $\sin$ [/latex]
A: [latex] Pour $x\in \mathbb{R}$, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ [/latex]

Q: [latex] Propriétés des fonctions $\cos$ et $\sin$ [/latex]
A: [latex] Les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi$-périodiques.
    La fonction cosinus est paire, tandis que la fonction sinus est impaire.
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables (donc continues) sur $\mathbb{R}$
[/latex]

Q: [latex] $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=$ [/latex]
A: [latex] $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ [/latex]

Q: [latex] Coordonnées polaires [/latex]
A: [latex] Pour tout point $M(x;y)$ du plan, distinct de $O$, on associe le couple $(r, \theta)\in \mathbb{R}^*_+\times ]-\pi,\pi]$  vérifiant
    \begin{itemize}
        \item $r=OM$
        \item $\theta=(\vecteur{OI}, \vecteur{OM})$
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Formules de passage des coordonnées polaires à cartésiennes [/latex]
A: [latex] $x=r\cos(\theta) \quad y=r\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] Formule de passage des coordonnées cartésiennes à polaires [/latex]
A: [latex] $ r=\sqrt{x^2+y^2} $
$\cos(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }$
$ \sin(\theta)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }$
[/latex]

Q: [latex] Définition de arccosinus [/latex]
A: [latex] La bijection réciproque de $\cos_{|[0,\pi]}^{|[-1,1]}$
$\Arccos : [-1,1]\to [0,\pi]$
[/latex]

Q: [latex] Propriétés de $\Arccos$ [/latex]
A: [latex] $\Arccos$ est strictement décroissante et continue sur $[-1,1]$,
dérivable sur $]-1,1[$. [/latex]

Q: [latex] Définition de arcsinus [/latex]
A: [latex] $\Arcsin$ est la bijection réciproque de $\sin_{|[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]}^{|[-1,1]}$
$\Arcsin : [-1,1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
 [/latex]

Q: [latex] Propriétés de $\Arcsin$ [/latex]
A: [latex] $\Arcsin$ est impaire, strictement croissante, continue sur $[-1,1]$,
dérivable sur $]-1,1[$. [/latex]

Q: [latex] Relations entre $\cos$ et $\Arccos$ [/latex]
A: [latex] $\forall x\in [-1,1],\cos(\Arccos(x))=x$
$\forall \theta\in [0,\pi]$,  $\Arccos(\cos(\theta))=\theta$
  [/latex]

Q: [latex] Relations entre $\sin$ et $\Arcsin$ [/latex]
A: [latex]
$\forall x\in [-1,1], \sin(\Arcsin(x))=x$
$\forall \theta\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\Arcsin(\sin(\theta))=\theta$
[/latex]

Q: [latex] Relation entre $\sin$ et $\Arccos$ [/latex]
A: [latex]
$\forall x\in [-1,1], \sin(\Arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$
[/latex]

Q: [latex] Relation entre $\cos$ et $\Arcsin$ [/latex]
A: [latex] $\forall x\in [-1,1], \cos(\Arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$ [/latex]

Q: [latex] Définition de la fonction tangente [/latex]
A: [latex]
    $ \fonction{\tan}{\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi| k\in \mathbb{Z}\}   }{\mathbb{R} }{\theta}{\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} } $ [/latex]

Q: [latex] Propriétés de la fonction $\tan$ [/latex]
A: [latex] Elle est $\pi$-périodique, impaire et dérivable (donc continue) sur son ensemble de définition [/latex]

Q: [latex] Limites de la fonction $\tan$ au bord de son domaine de définition [/latex]
A: [latex]  $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+}\tan(x)=-\infty\quad \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\tan(x)=+\infty $ [/latex]

[latex] Représentation graphique de la fonction $\Arccos$ [/latex]

[latex] Représentation graphique de la fonction $\Arcsin$ [/latex]

[latex] Représentation graphique de la fonction $\tan$ [/latex]

[latex] Représentation graphique de la fonction $\arctan$ [/latex]

Q: [latex] Définition de la fonction arctangente [/latex]
A: [latex] C'est la bijection réciproque de la fonction $\tan_{|]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[}$
$\Arctan : \mathbb{R}\to ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$
 [/latex]

Q: [latex] Propriétés de la fonction $\Arctan$ [/latex]
A: [latex] Elle est impaire, strictement croissante, dérivable (donc continue) sur $\mathbb{R}$ [/latex]

Q: [latex] Limites de $\Arctan$ au bord de son domaine de définition. [/latex]
A: [latex] $\Arctan \xrightarrow[-\infty]{}-\frac{\pi}{2} \quad \Arctan \xrightarrow[+\infty]{}\frac{\pi}{2} $ [/latex]

Q: [latex] Relations liant $\tan$ et $\Arctan$ [/latex]
A: [latex] $\forall x \in \mathbb{R}, \, \tan(\Arctan(x))=x$
    $\forall \theta\in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[, \, \Arctan(\tan(\theta))=\theta$ [/latex]

Q: [latex] Relation liant $\Arcsin$ et $\Arccos$ [/latex]
A: [latex] Soit $x\in [-1,1]$, alors $\Arcsin(x)+\Arccos(x)=\frac{\pi}{2}$. [/latex]

Q: [latex] Définition de la fonction sinus hyperbolique [/latex]
A: [latex] C'est la composante impaire de la fonction exponentielle.
$\fonction{\sh}{\mathbb{R} }{\mathbb{R} }{t}{ \dfrac{e^t-e^{-t} }{ 2 } }$
[/latex]

Q: [latex] Définition de la fonction cosinus hyperbolique [/latex]
A: [latex] C'est la composante paire de la fonction exponentielle.
$\fonction{\ch}{\mathbb{R} }{\mathbb{R} }{t}{\dfrac{e^t+e^{-t} }{2} }$
 [/latex]

Q: [latex] Propriétés de $\ch$. [/latex]
A: [latex] Elle est paire, dérivable (donc continue) sur $\mathbb{R}$. [/latex]

Q: [latex] Propriétés de la fonction $\sh$ [/latex]
A: [latex] Elle est impaire, strictement croissante, dérivable (donc continue) sur $\mathbb{R}$. [/latex]

Q: [latex] Limites aux bornes du domaine de définition de $\ch$ [/latex]
A: [latex] $\ch \xrightarrow[-\infty]{}+\infty \quad \ch \xrightarrow[+\infty]{}+\infty$ [/latex]

Q: [latex] Limites aux bornes du domaine de définition de $\sh$ [/latex]
A: [latex] $\sh \xrightarrow[-\infty]{}-\infty \quad \sh \xrightarrow[+\infty]{}+\infty$ [/latex]

Q: [latex] Relation liant $\ch$ et $\sh$ [/latex]
A: [latex]  Pour tout $t\in \mathbb{R}$, $\ch^2(t)-\sh^2(t)=1$.[/latex]

[latex] Représentation graphique de $\ch$ et $\sh$ [/latex]